Vetores

Introdução

Descrevemos os fenômenos físicos por meio do processo de abstração, isto é, por meio da observação de um certo fenômeno, definimos certas coisas que julgamos ser relevantes para entendermos esses fenômenos e a partir do que foi definido criamos regras que relacionam essas coisas. Essas "coisas" recebem o nome de grandezas físicas.

Para sabermos se essas regras descrevem bem um fenômeno físico, tomamos as implicações dessas regras e verificamos experimentalmente se elas são coerentes com a realidade. Para a realização desse processo, as grandezas físicas devem ser definidas de modo que possamos compara-las.

A matemática é, até hoje, a melhor forma que encontramos de descrever os fenômenos físicos da natureza, isto é, de definirmos as grandezas físicas e as regras que as relacionam. Para definirmos algumas grandezas físicas utilizamos números. Esses números permitem comparar essas grandezas com uma outra grandeza de mesma natureza que assumimos como padrão chamada de unidade. Assim, uma grandeza física pode ser expressa por um número juntamente com uma unidade. No entanto, nem todas as grandezas podem ser expressas ou são úteis dessa forma.

É um fato experimental que existem grandezas físicas que para serem descritas é necessário atribui-las uma magnitude, direção e sentido. (Esses elementos são bem observados quando falamos de uma força tendo em mente o conceito intuitivo e cotidiano do que essa palavra significa). Por exemplo, um dos objetivos da física é descrever o movimento dos corpos, assim precisamos de identificar o local do espaço em que um corpo se encontra. Poderíamos em princípio tomar a distância entre o corpo de interesse e um outro corpo de referência. No entanto observamos que se andarmos 4km para o leste ou 4km para o sul estaremos em locais diferentes.

A magnitude da grandeza física é expressa pela comprimento desse segmento e é denotada por |AB|, a direção é determinada pela reta que contém os pontos A e B e o sentido é indicado pela ponta de flecha: de A para B.

Verifica-se experimentalmente que essas grandezas obedecem às seguintes regras que vamos definir:

adição (+) associa a cada par de grandezas AB, AC de mesma natureza a grandeza AC tal como mostra a figura abaixo. Definimos a seguinte notação AB + BC = AC

A multiplicação por um escalar associa a cada grandeza AB e a cada número real α a grandeza AC tal que |AC| = |α||AB| como mostra as figuras abaixo: a primeira se α > 0 e a segunda se α < 0 . Em ambos os casos a direção da grandeza AC é a mesma de AB, ou seja, o ponto C pertence à reta definida pelos pontos A e B. Definimos a seguinte notação αAB = AC .

Às grandezas que se combinam de acordo com as regras acima damos o nome de grandezas vetoriais.

Quando lidamos com muitas grandezas vetoriais a representação e manipulação geométrica pode ser complicada, utilizamos então um sistema de coordenadas para tratar esses objetos de maneira algébrica.

Definição de vetores

Segmentos de reta orientados podem ser usados para representar grandezas físicas vetoriais, isto é, grandezas que para ficarem bem definidas precisam ter atribuídas uma magnitude, direção e sentido. No entanto, pelo que vimos existe uma coleção de segmentos orientados que possuem a mesma magnitude, direção e sentido: segmentos equipolentes. Isso significa, que segmentos de reta orientados equipolentes representam a mesma grandeza física vetorial.

Definição: Dado um segmento de reta orientado AB, chamamos de vetor "v", o conjunto de segmentos de reta orientados equipolentes a AB e escrevemos v = AB.

Vetores no plano

Para qualquer segmento orientado no plano sempre existe um equipolente a ele que tem ponto inicial na origem. Assim uma conjunto de segmentos orientados equipolentes sempre tem um com ponto inicial na origem. Com efeito, podemos transladar paralelamente um segmento orientado AA', onde A = (a, b) e A' = (a', b'), até fazer o ponto A coincidir com a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas. Com vimos, o segmento equipolente obtido será OC' onde C' = (a'- a, b'- b).

Assim, passaremos a considerar apenas segmentos orientados com ponto inicial na origem. Logo, os vetores no plano são determinados pelo seu ponto final pois seu ponto inicial é sempre a origem. Isto nos permite estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano com os vetores no plano. Assim, a cada ponto P = (a, b) do plano associamos um único

vetor v = OP e vice-versa. Com isso, passaremos a denotar um vetor v = OP simplesmente pelas coordenadas do ponto P, isto é, v = (a, b)

Os números a e b são chamados de componentes do vetor v.

De um modo geral, os vetores são denotados com letras minúsculas em negrito, por exemplo, u, v e w, enquanto que os pontos por letras maiúsculas P, Q, R, etc...

À origem do plano associamos um vetor chamado vetor nulo (denotado pelo número zero 0), 0 = (0, 0).

Se v = (a, b), o vetor - v = (- a, - b) é chamado de oposto de v. Isto é, - v é um vetor de mesmo comprimento e mesma direção de v mas com sentido contrário.

Denotaremos a magnitude de v = (a, b), por |v| = √(a² + b²), que é a distância da origem ao ponto P.

As grandezas física vetoriais, como o próprio nome sugere, são de fato, adequadamente representadas por vetores, e não por apenas um segmento orientado em específico. Não apenas porque os segmentos orientados equipolentes possuem as mesmas propriedades, mas é uma característica das leis físicas elas devem ser independentes da escolha exata da origem das coordenadas. A utilização de vetores nos dá essa independência.

Operações com vetores no plano

Vamos ver agora como efetuar as operações com grandezas vetoriais de maneira algébrica.

Multiplicação por escalar

Definição: A multiplicação de um vetor v = (v1, v2) por um número real α, denotado por αv, é a multiplicação por escalar do segmento orientado OP pelo número real α, onde P = (v1, v2). Assim, se αOP = OP', αv = OP'

Consideremos a multiplicação αOP = OP'. Vamos fixar um sistema de coordenadas no plano onde O é a origem, P = (v1, v2), P' = (a, b)

Por definição, |OP'| = |α| |OP|, assim:

Além disso, por definição, O, P, P' estão sobre a mesma reta (mesma direção), logo

Assim:

Então:

E b = ± α v2

Para preservarmos a condição de que α > 0 o sentido de OP' é o mesmo de OP e se α < 0 o sentido é oposto, devemos tomar a = αv1 e b = αv2.

Portanto,

Se α = 0, estendemos a definição de multiplicação por escalar, definindo 0v = 0 = (0, 0).

Adição

Definição: A adição de dois vetores v = (v1, v2), u = (u1, u2) é a adição dos segmentos orientados OP + OP' , onde P = (v1, v2), P' = (u1, u2).

Já vimos como obter a soma dois segmentos orientados. Para obter a soma OP + OP', devemos tomar o segmento orientando PP'' equipolente a OP, que possui ponto inicial em P. Assim, v + u = OP'.

Vamos então, determinar as coordenadas do ponto P'.

Vamos fixar um sistema de coordenadas no plano onde O é a origem. Se P = (v1, v2),

P' = (u1, u2), P'' = (p''1, p''2), então:

Portanto,

Vetores unitários

Um problema comum em aplicações é encontrar um vetor unitário u, isto é, |u| = 1, que tem a mesma direção de um vetor dado v não nulo. Tal vetor u pode ser obtido como

que é um vetor na direção de v multiplicado por um escalar k =1/|v|. Assim,

Uma coisa importante a se notar é que qualquer vetor u = (u1, u2) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores unitários i = (1, 0) e j = (0, 1)

O escalar u1 é chamado de componente de u na direção e o escalar u_2 de componente y de u. O conjunto de vetores (i, j) é chamado de base de ℝ²

Ângulo entre vetores

Dados os vetores não nulos u = u1, u2 e v = (v1, v2) definimos o ângulo entre u e v como sendo o ângulo θ formado por OP e OP' satisfazendo 0 ≤ θ ≤ π, onde P = (u1, u2)$ e P' = (v1, v2).

Teorema

Se u e v são dois vetores não nulos e se α é o ângulo entre eles, então:

Para demonstrar vamos considerar o seguinte triângulo e aplicar a lei dos cossenos

Utilizando as propriedades de produto interno, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como

Então:

que simplificando nos dá:

De um modo geral, os termos “perpendicular”, “ortogonal” e “normal” são usados para dizer que

dois objetos geométricos se interceptam em ângulos retos. Mais comumente dizemos que dois vetores são ortogonais, duas retas são perpendiculares e que um vetor é normal a um plano. A equação anterior nos diz que dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar for igual a zero. Também dizemos que o vetor nulo, 0, é ortogonal a qualquer vetor, muito embora o ângulo entre o vetor nulo e um vetor qualquer não esteja bem definido geometricamente. Esta convenção nos permite escrever que u e v são ortogonais quando u x v = 0, quaisquer que sejam os vetores u e v.

Confira o nosso vídeo para mais detalhes.