Transporte paralelo

Definição: Dados dois pontos A = (a, b) e A' = (a', b'), M ∈ AA' é o ponto médio do segmento de reta AA' se d(A, M) = d(M, A').

Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio a partir da fórmula da distância entre dois pontos. Seja M = (xm, ym) e considere:

Fig: 1. A relação entre triângulos semelhantes

Por definição d(M, A') = d(A, M). Vemos também que os triângulos AMP e MA'Q são semelhantes e com isso tem-se:

Igualmente:

Consideremos o seguinte problema: São dados o segmento de reta orientado AA', com A = (a, b), A' = (a', b'), e o ponto C = (c, d), fora da reta AA'. Quer-se determinar as coordenadas do ponto C' = (x, y) de modo que CC' seja o segmento orientado (começando em C) obtido quando se translada AA' paralelamente até fazer A coincidir com C. Em termos mais precisos: dados os pontos A, A' e C, quer-se obter C' tal que AA' e CC' sejam os lados opostos de um paralelogramo cujos outros lados opostos são AC e A'C'. Pomos C' = (x, y) e nos propomos a calcular x e y.

Obs: As seta nos segmentos orientados na figura abaixo foram omitidos.

Fig: 2. diagrama ilustrativo

Da Geometria Plana, sabemos que as diagonais de um paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio. Assim os segmentos AC' e A'C têm o mesmo ponto médio. Isto nos dá

Daí

Em particular, se transladarmos paralelamente o segmento AA' até fazer o ponto A coincidir com a origem O = (0, 0$ do sistema de coordenadas então o ponto A' cairá sobre C' = (a' - a, b' - b)

Quando CC' se obtém de AA' por um deslocamento paralelo de modo a fazer A coincidir com C), costuma-se dizer que o segmento AA' e CC' são equipolentes. Portanto, se A = (a, b), A' = (a', b'), C = (c, d) e C' = (c', d') os segmentos AA', CC', não situados sobre a mesma reta, são equipolentes se, e somente se, tem-se

Quando os dois segmentos estão sobre a mesma reta, diremos ainda que eles são equipolentes quando estas igualdades se verificarem. Em qualquer caso, estas igualdades significam que AC' e A'C têm o mesmo ponto médio.

Fig: 3. Segmentos equipolentes

Confira o nosso vídeo para mais detalhes.