Sistemas de coordenadas

Introdução

Para descrevermos os movimentos dos corpos precisamos saber para cada instante de tempo a posição desse corpo no espaço, para isso utilizamos um sistema de coordenadas pois com ele descrevemos objetos geométricos por meio meio de números e vice-versa, assim para dado um instante de tempo que é um número real saberemos associar o ponto ou a região do espaço em que um corpo está. Nessa seção vamos começar introduzindo coordenadas sobre uma reta, ou seja, vamos representar os pontos da reta por meio de números reais.

Admitimos fixada uma unidade de comprimento.

Definição: Dados os pontos A, B quaisquer, o comprimento do segmento de reta AB chama-se a distância entre os pontos A e B. Escrevemos d(A, B) ou AB para indicar essa distância, que é um número real e vale as seguintes propriedades:

Coordenadas na reta

A noção de distância permite introduzir coordenadas sobre uma reta. Para fazer isto, será necessário orientar a reta e escolher um dos seus pontos como origem.

Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso chama-se negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto B está à direita do ponto A (portanto A está à esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B é positivo.

Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou um ponto O, chamado a origem.

Todo eixo E pode ser posto, em correspondência biunívoca com o conjunto ℝ dos números reais, isto é, a cada ponto de E se associa um único número real e, reciprocamente,

para cada número real x existe um único ponto X em E associado.

Fazemos isso do seguinte modo:

• A origem O do eixo faz-se corresponder o número zero.

• A cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real positivo x = d(O, X)

• A cada ponto X de E situado à esquerda de O corresponde o número real negativo x = -d(O, X)

O número real x, que corresponde ao ponto X do eixo E da maneira acima indicada, chama-se a coordenada desse ponto.

Se x e y são respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y do eixo E então tem-se:

x < y se, e somente se, X está á esquerda de Y.

Temos também que para quaisquer X, Y em E, tem-se: d(X, Y) = |x - y|.

Coordenadas no plano

Indica-se como ℝ o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y), onde x e y são números reais.

Definição: Dados (x, y) e (x', y') em ℝ, tem-se (x, y) = (x', y') se, e somente se, x = x' e y = y'. O número x chama-se a primeira coordenada e o número y a segunda coordenada do par (x, y).

Mostraremos agora como usar ℝ para obter um modelo aritmético de um plano.

Um sistema de coordenadas cartesianas no plano consiste num par de eixos perpendiculares OX e OY contidos nesse plano, com a mesma origem O. OX chama-se o eixo das abcissas e OY é o eixo das ordenadas. O sistema é indicado com a notação OXY.

A escolha de um sistema de coordenadas no plano T permite estabelecer uma correspondência biunívoca T → ℝ . A cada ponto P do plano T fazemos corresponder um par ordenado (x, y) ∈ ℝ. Os números x e y são as coordenadas do ponto P relativamente ao sistema OXY : x é a abcissa e y é a ordenada de P.

As coordenadas x, y do ponto P são definidas do seguinte modo: Se P estiver sobre o eixo OX, o par ordenado que lhe corresponde é (x, 0), onde x é a coordenada de P no eixo OX, conforme explicado na seção anterior. Se P estiver sobre o eixo OY, a ele corresponde o par (0, y), onde y é a coordenada de P nesse eixo.

Se P não está em qualquer dos eixos, traçamos por P uma paralela ao eixo OY, a qual corta OX no ponto de coordenada (x, 0) e uma paralela ao eixo OX, a qual corta OY no ponto de coordenada (0, y). Então x será a abcissa e y a ordenada do ponto P.

O ponto O, origem do sistema de coordenadas, tem abcissa e ordenada ambas iguais a zero. Assim, a ele corresponde o par (0, 0) em ℝ². Se x é a abcissa e y é a ordenada do ponto P, o ponto Px de coordenadas (x, 0) chama-se a a projeção de P sobre o eixo OX enquanto o ponto Py, de coordenada (0, y), é chamado a projeção de P sobre o eixo OY.

Em princípio o plano T, cujos elementos são pontos, não é a mesma coisa que o conjunto ℝ², cujos elementos são pares de números reais. Entretanto, quando fixarmos um sistema de coordenadas em T, usaremos a correspondência T → ℝ² para identificar cada ponto P do plano com o par ordenado (x, y) que lhe corresponde. Assim, escrevemos P = (x, y) querendo dizer com isto que P é o ponto do plano cuja abcissa é x e cuja ordenada é y.

Distância entre dois pontos

Se os pontos P = (x, y) e Q = (x1, y) têm a mesma ordenada y então a distância d(P, Q) entre eles é igual à distância entre suas projeções sobre o eixo OX.

Analogamente, se P = (x, y) e Q1 = (x, y1) têm a mesma abcissa x então:

Se, entretanto, P = (x, y) e Q = (u, v) têm abcissas e ordenadas diferentes então, considerando o ponto S = (u, y), vemos que PSQ é um triângulo retângulo cuja hipotenusa é PQ. Como P e S têm a mesma ordenada, enquanto S e Q têm a mesma abcissa, segue-se que:

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever

Assim:

Em particular, a distância do ponto P = (x, y) à origem O = (0, 0) é

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