Lançamento Oblíquo

Introdução

Um movimento bastante comum no nosso dia a dia é o lançamento de objetos, por exemplo ao arremessarmos bolinhas de papel num cesto, jogar uma bolinha para o cachorro pegar ou um cruzamento de bola por cima em um jogo de futebol. Todas essas situações nos levam ao estudo geral desse tipo de movimento chamado lançamento oblíquo.

Voltando ao exemplo do jogador de futebol, vemos atualmente que dificilmente um jogador acerta um cruzamento. Imaginemos que um físico, cansado de se frustrar com jogadas de seu time, resolva criar um dispositivo para os jogadores que permita determinar com precisão como o jogador deve chutar a bola, a fim de que seu companheiro de equipe a uma certa distância receba a bola. Certamente, na programação desse dispositivo estaria a função que descreve o lançamento oblíquo, isto é, para um instante qualquer, pode-se determinar a posição da bola no espaço por meio dessa função. Inicialmente, vamos estudar esse movimento do ponto de vista da cinemática.

Um pouco de Geometria Analítica

Definição: Dados os pontos A, B quaisquer, o comprimento do segmento de reta AB chama-se a distância entre os pontos A e B. Escrevemos d(A, B) ou AB para indicar essa distancia, que é um número real e vale as seguintes propriedades:

Coordenadas na reta

Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso chama-se negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto B está a direita do ponto A (portanto A está a esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B é positivo.

Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou um ponto O, chamado a origem.

Todo eixo E pode ser posto, em correspondência biunívoca com o conjunto ℝ dos números reais, isto é, a cada ponto de E se associa um único número real e, reciprocamente, para cada número real x existe um único ponto X em E associado. Fazemos isso do seguinte modo:

1- A origem O do eixo faz-se corresponder o número zero;

2- A cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real positivo x = d(O, X);

3- A cada ponto X de E situado à esquerda de O corresponde o número real negativo

x = - d(O, X);

O número real x, que corresponde ao ponto X do eixo E da maneira acima indicada, chama-se a coordenada desse ponto.

Se x e y são respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y do eixo E então tem-se:

x < y se, e somente se, X está á esquerda de Y.

Temos também que para quaisquer X, Y em E, tem-se: d(X, Y) = |x - y|.

Se A e B são pontos do eixo E, com A à esquerda de B, e suas coordenadas respectivas são a e b, então a coordenada x de um ponto arbitrário X do segmento de reta AB é um número x tal que a ≤ x ≤ b. Além disso, para cada ponto X do segmento de reta AB, tem-se d(A, X) + d(X, B) = d(A, B), como d(X, B) ≥ 0, d(A, X) ≤ d(A, B), logo a razão t = d(A, X)/d(A, B) é um número real compreendido entre 0 e 1. Quando X = A tem-se t = 0 e, quando X = B, vale t = 1.

Ou seja, temos uma função

Mas como vimos, o número x(t) está associado ao ponto X biunivocamente, de modo que a função x associa a cada número real t um ponto do eixo E.

Considerações iniciais:

A bola (ou qualquer outro objeto), descrita no contexto da mecânica clássica, é um objeto composto de inúmeras partículas. No entanto, como nos interessa apenas o movimento de translação, mais tarde no curso, será mostrado que, sob certas considerações, basta descrever o movimento de um ponto específico: o centro de massa. Assim, o estudo do movimento de um corpo pode ser simplificado ao de uma única partícula.

Assumimos que a função r que fornece a posição de uma partícula em cada instante de tempo t é da forma

Onde x, y, z: ℝ→ ℝ. Isto é, a função r associa a cada número real t um ( único) ponto do espaço r(t) chamado aposição da partícula no instante t cuja tripla ordenada dada por um sistema de coordenadas ortogonais tridimensional

é (x(t), y(t), z(t)).

Fisicamente, isso significa que o movimento no espaço é uma combinação de três movimentos unidimensionais nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas ortogonais.

A imagem da função r é o conjunto denotado por f(A) definido por

Esse conjunto é chamado curva parametrizada e pode ser interpretada como a trajetória do movimento da partícula.

A igualdade (a, b, c) = r(t) é equivalente as três igualdades:

Esses movimentos não são necessariamente independentes como trataremos nesse problema, mas para uma descrição precisa do movimento é necessário estudar as causas do movimento, sendo este objeto de estudo posterior na chamada dinâmica do movimento.

No caso de lançamentos que se restrinjam às proximidades da superfície terrestre e onde não se considera a resistência do ar, o movimento pode ser simplificado a um problema bidimensional que tomaremos como sendo no plano OXY.

Além disso, os movimentos nas direções OX e OY são independentes sendo o movimento na direção OX retilíneo uniforme, e na direção OY retilíneo uniformemente variado. Disso, considerando o instante inicial t = 0 tal que R(0) = (0, 0) e V(0) = (Vocos(θ), Vosin(θ)) com θ ∈ (0, π/2 ) e Vo > 0, tem-se as funções do movimento:

Características das funções componentes

Movimento Horizontal

Como Vocos(θ) é uma constante (número real) diferente de zero, reconhecemos que x é uma função linear do tempo.

Para vermos uma característica física dessa função, tomemos dois instantes diferentes no domínio da função x, t1 e t2 com t2 > t1. Nesses instantes, a partícula está nas posições x(t1) = Vocos(θ)t1 e x(t2) = Vosin(θ)t2, respectivamente. Tomemos outros dois instantes t3 e t4 com t3 > t4 tais que t4 - t3 = t2 - t1.

Assim:

Isso significa que a partícula percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais.

Gráfico da função x

Pela definição do gráfico de uma função, tem-se:

Isto é, o gráfico de x é o conjunto dos pontos do plano t, Vocos(θ)t quando t varia no conjunto

ℝ+

Uma característica interessante dessa função é a seguinte: Dados quaisquer t1, t2 no domínio da função x, se x(t1) = x(t2) então t1 = t2. Com efeito,

Uma função que satisfaz essa propriedade é chamada injetiva. Fisicamente, isso significa que, no movimento retilíneo uniforme, uma partícula ocupa uma certa posição uma única vez em um determinado instante. Além disso, se t2 > t1, então x(t2) > x(t1, uma vez que Vocos(θ) > 0 , e com isso vemos que o movimento tem, além de uma direção única, um sentido de percurso único.