Função definida por partes

Na física temos diversas maneiras de interpretar funções, conseguimos esclarecer esse raciocínio através de uma aplicação simples do dia a dia, como a função definida por partes, vamos imaginar um carro que esta acelerando e em um dado instante sua aceleração vai a zero com velocidade constante. Vamos entender como podemos interpretar um gráfico da posição pelo tempo.

Primeiro, podemos analisar se o movimento é acelerado ou não olhando os dados apresentados, sabemos que nos primeiros instantes temos a posição variando linearmente no tempo, sendo assim conseguimos ter a velocidade constante naquela local, em seguida temos a posição constante e consequentemente a velocidade nula.

Depois desse processo conseguimos obter o movimento desse objeto em uma dimensão, abaixo temos os feixes de 2 em 2 segundos para melhor compreensão.

Seguindo essa animação feita no mathematica, conseguimos interpretar melhor como a bolinha se comporta segundo o gráfico, temos que nos dois primeiros instantes, a bolinha anda até a posição 20, após os 4 primeiros instantes a bolinha permanece no mesmo local pela sua posição constante, e logo em seguida conforme marcamos o tempo a posição aumenta junto com ele.

É importante procurar saber o que a função passa graficamente pois algumas matérias necessitam desse domínio, como na hora de descrever ondas estacionárias ou até mesmo estudar sobre movimento harmônico simples.

Para relembrar

Consideramos A e B conjunto de números reais, podemos associar cada elemento x desse conjunto a um elemento f(x) no conjunto B e obter uma função. Um meio de visualizar isso é com o diagrama de flechas, cada elemento de D esta ligado com um elemento de E.

Com isso, podemos definir o que são os domínios e as imagens presentes dentro do meu gráfico, dependendo da minha função, eu posso ter limitações na escolha da minha variável independente, como por exemplo se eu tiver

Meu domínio pode ser representado como

Pelo fato de que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo pela propriedade da potenciação e o denominador diferente de zero.

Quando eu tenho todos os valores possíveis de f(x) dentro de x variando entre o seu domínio eu chamo de imagem da função que relacionando todos esses elementos do contradomínio podemos obter o conjunto de imagens.

Isso será útil no nosso estudo de gráficos, que são extremamente importantes para entender função e interpreta-las.

Para se compreender os gráficos precisamos ter uma noção boa do domínio de f no eixo x e a imagem sobre o eixo y e assim nos atentar com a tabela de valores dessa função. Por exemplo, derivando a velocidade conseguimos encontrar a aceleração e assim fazer um gráfico dessa função variando no intervalo t.

Preenchendo os valores de t conseguimos montar a seguinte tabela:

Tempo (s)	Velocidade (m/s)
1	11
2	24
3	43
4	68
5	99

Tabela 1. Velocidade em cada instante observado.

Ainda conseguimos derivar a velocidade e achar a aceleração

Nossa tabela fica:

Tempo (s)	Aceleração ( m/s²)
1	10
2	16
3	22
4	28
5	34

Tabela 1. Aceleração em cada instante observado.

Com esses valores podemos obter o gráfico dessa função.

Em uma primeira analise, vemos que a velocidade se comporta como uma parábola enquanto o gráfico da aceleração é uma reta, seguindo podemos ver que a medida que a velocidade aumenta e aceleração aumenta linearmente com o tempo.

Conceito

Essas funções são facilmente visualizadas em um gráfico quando temos duas ou mais funções em diferentes intervalos de tempo, podemos começar com uma função linear e terminar com uma quadrática.

Em exercícios de cálculo I, são vistas nos primeiros capítulos muitas vezes para esboçar o gráfico da função ou uma fórmula para esse gráfico, por exemplo:

Ex.1) Encontre o segmento de reta unindo os pontos (1,-3) e (5, 7):

Em uma primeira analise, temos que f(1)= -3 e f(5)=7. Assim podemos usar a equação de reta para achar essas constantes a partir das variáveis independentes.

Colocando na fórmula e subtraindo as equações, temos:

Subtraindo 1 e 2, obtemos:

Simplificando por 2, conseguimos achar o a e em seguida b:

Conseguimos escrever nossa função da seguinte forma: