Movimento Harmônico Simples

Introdução

Uma excelente maneira de investigar as funções trigonométrica é através daquilo que chamamos de Movimento harmônico simples (MHS). Para compreendermos melhor do que se trata esse tópico, vamos direto ao exemplo mais simples, um objeto com massa m pendurado por fio com comprimento l que pode se deslocar na horizontal e na vertical. De maneira bem intuitiva, sabemos que ao deslocarmos o objeto de massa m, formando um ângulo θ com a vertical, ele irá "balançar" de um lado para o outro.

Estamos interessados em descobrir como descrever o movimento desse objeto, assim como fazemos na cinemática, por funções x(t), v(t) e a(t).

A estratégia que vamos adotar para resolver esse problema passa por 2 etapas. A primeira delas consiste em encontrar uma maneira de calcular a aceleração do objeto oscilante e a segunda consiste em aplicar a segunda lei de newton para calcular a força resultante. O calculo da força resultante é fundamental porque o que caracteriza o MHS é a força restauradora (desde que essa força seja proporcional ao deslocamento), em linhas gerais, força restauradora é aquela responsável por trazer o objeto de volta para a posição de equilíbrio.

Dedução

Partindo do pressuposto que o ângulo θ (Figura ao lado) é muito pequeno, podemos realizar algumas aproximações a respeito do seno e cosseno do ângulo θ. Para tal, vamos adotamos que sin(θ) ≅ θ e cos(θ) ≅1$. Podemos fazer essa aproximação para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio

Pelo pelo sistema de coordenadas adotado, podemos notar que o vetor posição R do objeto oscilante é igual ao comprimento L. A partir de agora chamaremos o vetor posição de L.

Podemos decompor L em duas componentes distintas nas direções dos vetores unitários I e J.

A derivada segunda do vetor posição corresponde a aceleração que queremos calcular, portanto:

Portanto a aceleração do objeto oscilante terá apenas uma componente na direção horizontal. Fazendo as devidas substituições na segunda lei de Newton:

Vamos agora calcular a força resultante.

Pela Figura acima podemos decompor a força T em duas componentes, nas direções I e J

Para T temos as seguintes relações trigonométricas:

A força resultante terá duas componentes, uma na direção -I e outra na direção J.

Sendo assim, a segundo lei de Newton pode ser escrita como:

Surge então duas equações distintas, já que só faz sentido comparar vetores componente a componente. Fazendo as devidas substituições temos as seguintes relações:

Fazendo as devidas substituições:

A expressão acima caracteriza um movimento do tipo harmônico simples. Ela geralmente tem a seguinte aparência:

ou seja, a equação que caracteriza o MHS possui uma derivada segunda da variável de movimento mais uma constante positiva que multiplica a variável de movimento. No nosso exemplo, essa variável é θ e a constante positiva é g/L.

A força de tração na direção J cumpre a função de se equilibrar com o peso e a força restauradora é a tensão na direção - I. É justamente essa força a responsável por trazer o objeto de volta para a posição de equilíbrio, porém, o objeto ao voltar para a posição de equilíbrio, possuí uma determinada velocidade na direção - I , e assim, continua a se mover. Ao passar pela posição de equilíbrio a força restauradora muda para a direção + I tentando trazer o objeto novamente para a posição de equilíbrio.

O sinal negativo ilustra o que acabamos de dizer, a força restauradora tem a tendência de trazer o objeto de volta para a posição de equilíbrio. Tal força tem a aparência da lei de Hooke:

Como foi mencionado anteriormente, a força restauradora precisa ser do tipo que varie linearmente com a posição, pois somente assim poderemos descrever o sistema como sendo do tipo harmônico simples.

A partir de uma analise dimensional podemos tirar algumas conclusões a respeito da grandeza g/L

Tal analise sugere que g/L tem unidade de frequência. Vamos chamar g/L de ω, então:

O próximo passo da nossa análise é resolver a equação linear homogênea de segunda ordem que caracteriza o MHS, contudo, isso vai um pouco além do curso de física 1 e calculo 1. Equações desse tipo não são difíceis de serem resolvidas. A solução da equação homogênea mais as derivadas de primeira e segunda ordem da função x(t) são as seguintes:

Sendo A a amplitude, Φ o ângulo de fase e ω a frequência angular.

A partir de um gráfico x(t) podemos discutir sobre o que representa fisicamente cada uma dessas variáveis.

Análise da função x(t)

Antes de irmos ao que interessa precisamos de algumas definições:

A amplitude do movimento, designada por A, é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio; isto é, o valor máximo de lxl.

Um ciclo é um percurso de ida e volta. O período T, é o tempo de um ciclo.

A frequência f, é o número de ciclos em uma unidade de tempo.

A frequência angular ω, é 2π vezes a frequência.

Vamos começar nossa análise variando a amplitude e mantendo as outras variáveis constantes.

Fig: 1. Comportamento de x(t) ao variarmos a amplitude de $0,1$ para $-0,1$. A curva em laranja é obtida após fazer a variação sugerida.

Pelo exemplo fig 1: pêndulo simples podemos observar que a amplitude descreve o quão alto puxamos nosso objeto oscilante antes de pomos ele em movimento. Ao variarmos a amplitude de 0,1 para - 0,1, estamos na prática apenas, em vez de puxarmos o objeto para a direita, o puxando para a esquerda.

Vamos agora variar o valor da frequência angular, ω.

Fig: 2. Comportamento de x(t) ao variarmos a amplitude frequência angular. A curva em laranja é obtida após fazer a variação sugerida.

Sabemos que ω é inversamente proporcional ao período, ou seja, se aumentarmos o valor de ω iremos, por conseguinte, diminuir proporcionalmente o valor de T.

Pela equação deduzida para ω, sabemos que tal grandeza representa propriedades físicas do sistema oscilante, por exemplo, o comprimento do fio, a massa do objeto oscilante ou outras propriedades do sistema.

Graficamente é como se ao aumentarmos o valor de ω estamos apenas "achatando" ou "esticando" a função.

Por último vamos analisar o que ocorre com a função x(t) ao variarmos o valor de Φ.

Φ denomina-se ângulo de fase e em todos os exemplos apresentados até agora escrevemos Φ = 0. Φ nos informa em que ponto do ciclo o movimento se encontrava em t = 0. Substituindo t = 0 na função x(t) temos para Φ = 0 :

Então nosso movimento começa, de fato, na amplitude máxima.

Para Φ = θ

Então nosso movimento começa na amplitude mínima.

Para Φ = θ/2

Então em t = 0 nós encontramos na origem.

Movimento amortecido.

O exemplo que tratamos agora a pouco é um dos mais simples possível. Nesse sistema diversas simplificações foram feitas, por exemplo, o fato de não existir forças dissipativas, ou seja, o sistema oscila indefinidamente.

Contudo, sistemas reais possuem alguma força dissipativa, por isso a amplitude das oscilações vai diminuindo com o tempo.

O próprio exemplo do pêndulo simples já é um desses sistemas. Qualquer um pode realizar a experiência de colocar em movimento oscilatório uma pequena bola de tênis por exemplo. Com o passar do tempo notará a amplitude diminuindo e isso se deve justamente por conta do atrito com o ar.

A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida.

O caso mais simples é o oscilador harmônico simples com uma força de atrito amortecedora diretamente proporcional à velocidade do corpo que oscila. Tal força é descrita assim:

b é uma constante que descreve a intensidade do amortecimento. O sinal negativo apenas indica que a força tem um sentido contrário ao da velocidade. A força resultante é:

A segunda lei de Newton:

A única diferença dessa equação para a equação caracterizadora do mhs é a presença do terceiro termo.

A função que resolve essa equação é a seguinte:

Esse movimento amortecido difere do discutido anteriormente por dois motivos diferentes.

Primeiro, a amplitude Ae^( - b/2m)t não é constante, ela decai por um fator

e^(- b/2m)t.

Segundo, a frequência angular não é mais igual a ω = (k/m)^(1/2). Quando b é muito grande a frequência angular tende a 0, portanto:

Quando a equação acima é satisfeita, ocorre o chamado amortecimento crítico. O sistema ao se deslocado da posição de equilíbrio não oscila, em vez disso, apenas retorna para a posição de equilíbrio.

Se b > 2(km)^1/2 ocorre então o super amortecimento. O sistema não oscila, mas, retorna lentamente para a posição de equilíbrio .

Se b < 2(km)^1/2 ocorre o sub-amortecimento. O sistema oscila mas a amplitude diminui continuamente com o tempo

Pelo gráfico abaixo fica mais claro a ideia de que a amplitude nesse tipo de movimento decresce com o tempo.